Conjunto de números (reales, enteros, racionales, naturales, irracionales)

En esta unidad vamos a dar una pequeña introducción a las nociones de 

conjuntos de números más significativas, siendo la más importante el 

conjunto de los números reales, que se denota por  .

Pero antes, para llegar a los reales empezaremos por el conjunto de los 

números naturales.

Números naturales 

Los números naturales son los que desde el principio de los tiempos 

se han utilizado para contar. En la mayoría de países han adoptado los 

números arábigos, llamados así porque fueron los árabes quienes los 

introdujeron en Europa, pero fue en la India donde se inventaron.

El conjunto de los números naturales se denota como  y se representan así:

Los números naturales se caracterizan por dos propiedades:

• El número 1 es el primer número natural y cada número natural se forma sumándole 1 al anterior.
• Cuando restamos o dividimos dos números naturales, el resultado no es necesariamente un número natural, y por eso decimos que los números naturales no son cerrados respecto estas dos operaciones. En cambio, sí son cerrados respecto a la suma y la multiplicación, es decir, la suma o multiplicación de dos números naturales da siempre como resultado otro número natural.

Números enteros 

Cuando aparece la necesidad de distinguir unos valores de otros a partir de una posición de referencia es cuando aparecen los números negativos. Por ejemplo, cuando desde el nivel 0 (nivel del mar) queremos diferenciar por encima del nivel del mar o por debajo del mar (en las profundidades). O en el caso de las temperaturas, positivas o bajo cero. Así podemos estar a 700m de altitud,  , o bucear a 10m de profundidad,  , y podemos estar a 25 grados,  , o a 5 grados bajo 0,  .

Para denotar los números negativos añadimos un signo menos delante del número.

En definitiva, al conjunto formado por los enteros negativos, el número cero y los enteros positivos (o naturales) lo llamamos conjunto de los números enteros.

Se denota con el símbolo  y se pueden escribir como:

Los representamos en una recta numérica de la siguiente manera:

Una propiedad importante de los números enteros es que son cerrados respecto a las operaciones de adición, multiplicación y sustracción, es decir, la suma, la resta y la multiplicación de dos números enteros da otro número entero. Nótese que el cociente de dos enteros, por ejemplo 3 y 7, no necesariamente es un entero. Así, la operación división no es cerrada respecto a los números enteros.

Números racionales 

Los números racionales son los números que resultan de la razón (división) entre dos números enteros. Se denota el conjunto de los números racionales como  , así que:

El resultado de un número racional puede ser un entero ( ) o bien un decimal ( ), positivo o negativo. Además, entre los decimales puede ser de dos tipos, con un número limitado de cifras que llamaremos decimal exacto ( ), o bien con un número ilimitado de cifras, que llamaremos decimal periódico ( ).

Se llaman periódicos porque en la parte decimal hay una o más cifras que se repiten. Si justo los números que se repiten comienzan a las décimas, los llamamos periódicos puros ( ), mientras que en caso contrario los llamamos periódicos mixtos ( )

Obsérvese que todo entero es un número racional, ya que, por ejemplo,  ; por tanto,  es un subconjunto de  . De la misma manera que los naturales son también enteros, concretamente enteros positivos. Así tenemos que:

Los números racionales son cerrados no sólo respecto de las operaciones de adición, multiplicación y sustracción, sino también de la división (excepto por  ).

Números irracionales 

Hemos visto que cualquier número racional se puede expresar como un número entero, un decimal exacto o un decimal periódico.

Ahora bien, no todos los números decimales son exactos o periódicos, y por tanto, no todos los números decimales pueden ser expresados como una fracción de dos enteros.

Estos números decimales que no son exactos ni periódicos se caracterizan por tener infinitas cifras decimales no periódicas, es decir, que no se acaban nunca y no tienen un patrón de repetición.

Obsérvese que el conjunto de números irracionales es el complementario del conjunto de números racionales.

Algunos ejemplos de números irracionales son  donde por ejemplo  proviene de la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.

Los números naturales son aquellos que permiten contar los elementos de un conjunto. Se trata del primer conjunto de números que fue utilizado por los seres humanos para contar objetos. Uno (1), dos (2), cinco (5) y nueve (9), por ejemplo, son números naturales.

Existe una controversia respecto a considerar al cero (0) como un número natural. Por lo general, la Teoría de Conjuntos incluye al cero dentro de este grupo, mientras que la Teoría de Números prefiere excluirlo.

Podría decirse que los números naturales tienen dos grandes usos: se utilizan para especificar el tamaño de un conjunto finito y para describir qué posición ocupa un elemento dentro de una secuencia ordenada.

Suma

Suma de dos o varios números naturales 

Se suman las cantidades, si hay más de dos podemos ir sumándolas de dos en dos.

5 +7 = 12

132 + 335 = 467

12 + 15 + 8 = 27 + 8 = 35

142 + 265 + 146 = 407 + 146 = 553

Resta

245 - 129 = 116

3456 - 2391 = 1065

Producto

5 ·7 = 35                 32 · 8 = 256

4 · 97 = 388            621 · 23 = 14283

Producto de varios naturales

1. El producto de naturales es asociativo, es decir a·(b·c) = (a·b)·c, luego cuando haya que multiplicar varios se multiplican de dos en dos y el resultado se multiplica por los factores que no hayan intervenido en ese producto.

(5 · 7)· 2 = 35 · 2 = 70              5 · ( 7 · 2) = 5 · 14 = 70 

(4 · 9) · 3 = 36 · 3 = 108           4 · ( 9 · 3) = 4 · 27 = 108

2. El producto es conmutativo, es decir, a · b = b · a 

12 · 7 = 84               7 · 12 = 84 

24 · 19 = 216           19 · 24 = 216

Cociente

25 : 5 = 5                 330 : 11 = 30

42 : 6 = 7                  639 : 9 = 71

Números enteros

 

Con los números naturales no era posible realizar diferencias donde el minuendo era menor que el que el sustraendo, pero en la vida nos encontramos con operaciones de este tipo donde a un numero menor hay que restarle uno mayor.

Por ejemplo, la necesidad de representar el dinero adeudado, temperatura bajo cero, profundidades con respecto al nivel del mar, etc.

Las anteriores situaciones nos obligan a ampliar el concepto de números naturales, introduciendo un nuevo conjunto numérico llamado números enteros.

El conjunto de los números enteros está formado por:

= {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}

Es decir, los naturales, sus opuestos (negativos) y el cero. Se dividen en tres partes: enteros positivos o números naturales, enteros negativos y cero.

Dado que los enteros contienen los enteros positivos, se considera a los números naturales son un subconjunto de los enteros.

Valor absoluto de un número entero

El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir su signo.

El valor absoluto lo escribiremos entre barras verticales.

|−5| = 5

|5| = 5

Representación de los números enteros

1. En una recta horizontal, se toma un punto cualquiera que se señala como cero.

2. A su derecha y a distancias iguales se van señalando los números positivos: 1, 2, 3,...

3. A la izquierda del cero y a distancias iguales que las anteriores, se van señalando los números negativos: − 1, −2, −3,...

Criterios para ordenar los números enteros

Orden en los números enteros

Los números enteros están ordenados. De dos números representados gráficamente, es mayor al que él está situado más a la derecha, y menor el situado más a la izquierda.

Criterios para ordenar los números enteros

1. Todo número negativo es menor que cero.

−7 < 0

2. Todo número positivo es mayor que cero.

7 > 0

3. De dos enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto.

−7 > −10             |−7| < |−10|

4. De los enteros positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto.

10 > 7             |10| > |7|

Suma de números enteros

 

1. Si los sumandos son del mismo signo, se suman los valores absolutos y al resultado se le pone el signo común.

3 + 5 = 8

(−3) + (−5) = −8

2. Si los sumandos son de distinto signo, se restan los valores absolutos (al mayor le restamos el menor) y al resultado se le pone el signo del número de mayor valor absoluto.

− 3 + 5 = 2

3 + (−5) = −2

Propiedades de la suma de números enteros

1. Interna:

El resultado de sumar dos números enteros es otro número entero.

a + b

3 + (−5)

2. Asociativa:

El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.

(a + b) + c = a + (b + c)

(2 + 3) + (−5) = 2 + [3 + (−5)]

5 − 5 = 2 + (−2)

0 = 0

3. Conmutativa:

El orden de los sumandos no varía la suma.

a + b = b + a

2 + (−5) = (−5) + 2

−3 = −3

4. Elemento neutro:

El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número.

a + 0 = a

(−5) + 0 = −5

5. Elemento opuesto

Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el cero.

a + (-a) = 0

5 + (−5) = 0

El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.

−(−5) = 5

Resta de números enteros

 

La resta de números enteros se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo.

a − b = a + (−b) 

7 − 5 = 2

7 − (−5) = 7 + 5 = 12

Propiedades de la resta de números enteros

1.Interna:

La resta dos números enteros es otro número entero.

a − b

10 − (−5)

2. No es Conmutativa:

a − b ≠ b − a

5 − 2 ≠ 2 − 5

Multiplicación de números enteros

 

La multiplicación de varios números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.

Regla de los signos

2 · 5 = 10

(−2) · (−5) = 10

2 · (−5) = −10

(−2) · 5 = −10

Propiedades de la multiplicación de números enteros

1. Interna:

El resultado de multiplicar dos números enteros es otro número entero.

a · b

2 · (−5)

2. Asociativa:

El modo de agrupar los factores no varía el resultado. Si a, b y c son números enteros cualesquiera, se cumple que:

(a · b) · c = a · (b · c)

(2 · 3) · (−5) = 2· [(3 · (−5)]

6 · (−5) = 2 · (−15)

−30 = −30

3. Conmutativa:

El orden de los factores no varía el producto.

a · b = b · a

2 · (−5) = (−5) · 2

-10 = -10

4. Elemento neutro:

El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque todo número multiplicado por él da el mismo número.

a · 1 = a

(−5) · 1 = (−5)

5. Distributiva:

El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos.

a · (b + c) = a · b + a · c 

(−2) · (3 + 5) = (−2) · 3 + (−2) · 5

(−2) · 8 = (−6) + (−10)

−16 = −16

6. Sacar factor común:

Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.

Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.

a · b + a · c = a · (b + c)

(−2) · 3 + (−2) · 5 = (−2) · (3 + 5)

División de números enteros

 

La división de dos números enteros es igual al valor absoluto del cociente de los valores absolutos entre el dividendo y el divisor, y tiene de signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.

Regla de los signos

10 : 5 = 2

(−10) : (−5) = 2

10 : (−5) = −2

(−10) : 5 = −2

Propiedades de la división de números enteros

1. No es una operación interna:

El resultado de dividir dos números enteros no siempre es otro número entero.

(−2) : 6

2. No es Conmutativo:

a : b ≠ b : a

6 : (−2) ≠ (−2) : 6